Question

1．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为$\frac{a}{2}$（n²-n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$万元．
（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n=$\frac{a}{2}$（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表达式；n≥2时，b_n-b_n-1=$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表达式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中a_n，b_n的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．

解答 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S_n，第n年销售额为a_n则S_n=$\frac{a}{2}$（n²-n+2）（n≥2），因为n=1时，a₁=a，则n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a}{2}$（n²-n+2）-$\frac{a}{2}$[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a．n=1}\\{（n-1）a，n≥2}\end{array}\right.$；
设乙超市第n年销售额为b_n，
又b₁=a，n≥2时，b_n-b_n-1=$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a．
显然n=1也适合，故b_n=[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a（n∈N^*）．
（Ⅱ）当n=2时，a₂=a，b₂=$\frac{5}{3}$a，有a₂＞$\frac{1}{2}$b₂；当n=3时，a₃=2a，b₃=$\frac{19}{9}$a，有a₃＞$\frac{1}{2}$b₃；
当n≥4时，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令$\frac{1}{2}$a_n＞b_n，则$\frac{1}{2}$（n-1）a＞[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a，∴n-1＞6-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1，即n＞7-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1．
又当n≥7时，0＜4•（$\frac{2}{3}$）^n-1＜1，故当n∈N^*且n≥7时，必有n＞7-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购

点评 本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．