题目内容
【题目】定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0 , 有 f(x0)=x0 , 则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1 (a≠0).
(1)当a=1,b=﹣2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A,B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A,B两点关于直线y=kx+ 对称,求b的最小值.
【答案】
(1)解:当a=1,b=﹣2时,有f (x)=x2﹣x﹣3,
令x2﹣x﹣3=x,化简得:x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,或x2=3
故所求的不动点为﹣1或3.(4分)
(2)解:令ax2+(b+1)x+b﹣1=x,则ax2+bx+b﹣1=0①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2﹣4a(b﹣1)>0,
即b2﹣4ab+4a>0恒成立,(6分)
整理得b2﹣4ab+4a=(b﹣2a)2+4a﹣4a2>0,
故4a﹣4a2>0,即0<a<1
(3)解:设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则kAB=1,∴k=﹣1,
所以y=﹣x+ ,
又AB的中点在该直线上,所以 =﹣
+
,
∴x1+x2= ,
而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=﹣ ,即﹣
=
,
∴
= =
∴当a= ∈(0,1)时,bmin=﹣1
【解析】(1)将a=1,b=﹣2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不动点即可;(2)由ax2+(b+1)x+b﹣1=x有两个不动点,即ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根,可通过判别式大于0得到关于参数a,b的不等式b2﹣4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2﹣4ab+4a=(b﹣2a)2+4a﹣4a2>0恒成立,将此不等式恒成立转化为4a﹣4a2>0即可.(3)由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件,故可以先设出两点的坐标分别为A(x1 , x1),B(x2 , x2)(x1≠x2),由斜率公式求得kAB=1,又对称性知直线y=kx+ 的斜率k=﹣1将其代入直线的方程,可以得到x1+x2=
,由此联想到根与系数的关系,由(II)知,x1、x2应是方程ax2+bx+b﹣1=0的根,故又可得x1+x2=﹣
,至此题设中的条件转化为﹣
=
,观察发现参数b可以表示成参数a的函数即
,至此,求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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