Question

【题目】已知定义域为R的函数 ．
（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；
（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ，

∴f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）为R上的奇函数

（2）解：∵ =﹣1+ ，

令x1＜x2，则 ＜ ，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上为减函数

（3）解：∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，f（x）为R上的奇函数，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又f（x）在R上为减函数，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，

∴k＜（3t2﹣2t）min，由二次函数的单调性质知，当t= 时，y=（3t2﹣2t）min，取得最小值，即（3t2﹣2t）min，=3×（ ）2﹣2× =﹣ ．

∴

【解析】（1）因为f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），利用奇函数的定义即可证明f（x）为R上的奇函数；（2）令x1＜x2 ， 则 ＜ ，将f（x1）与f（x2）作差，利用函数单调性的定义可证明：f（x）在R上为减函数；（3）由（1）（2）可知奇函数f（x）在R上为减函数，故f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即k＜（3t2﹣2t）min ， 利用二次函数的单调性质可求得（3t2﹣2t）min ， 从而可求k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．