题目内容
【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式;
(3)设g(x)=f(x)-x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=
的上方,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)f(x)=x2+
x+
.(3)m∈(-∞,1+
).
【解析】
(1)由题得,所以f(2)=2.(2)由f(2)=2,f(-2)=0得到a,b,c的方程组,再根据f(x)≥x恒成立得到ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,即a>0.Δ=(
-1)2-4a(1-4a)≤0,解出a,b,c的值即得f(x)的表达式.(3)先转化为x2+4(1-m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立,再利用二次函数的图像数形结合分析得到m的取值范围.
(1)证明:由条件知:
f(2)=4a+2b+c≥2恒成立.
又因取x=2时,f(2)=4a+2b+c≤ (2+2)2=2恒成立,∴f(2)=2.
(2)因,
∴4a+c=2b=1.
∴b=,c=1-4a.
又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)x+c≥0恒成立.
∴a>0.Δ=(-1)2-4a(1-4a)≤0,
解出:a=,b=
,c=
.
∴f(x)=x2+
x+
.
(3)g(x)=x2+(
-
)x+
>
在x∈[0,+∞)必须恒成立.
即x2+4(1-m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立,
①Δ<0,即[4(1-m)]2-8<0.
解得:1-<m<1+
.
②解得:m≤1-
,
综上m∈(-∞,1+).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目