题目内容

20.设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)=$\frac{1}{2}$,则下列结论正确的是(  )
A.xf(x)在(0,+∞)单调递增B.xf(x)在(1,+∞)单调递减
C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值$\frac{1}{2}$D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值$\frac{1}{2}$

分析 根据条件,构造函数g(x)=xf(x),利用导数研究函数的单调性和极值,即可得到结论.

解答 解:由x2f′(x)+xf(x)=lnx得x>0,
则xf′(x)+f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
即[xf(x)]′=$\frac{lnx}{x}$,
设g(x)=xf(x),
即g′(x)=$\frac{lnx}{x}$>0得x>1,由g′(x)<0得0<x<1,
即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=$\frac{1}{2}$,
故选:D

点评 本题主要考查函数的导数的应用,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.

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