Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=ex（x+2）（x+a），

由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，

①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=ex（x+2）2≥0恒成立，

∴函数f（x）在R递增；

②﹣a＞﹣2即a＜2时，x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增		递减		递增

③﹣a＜﹣2即a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，﹣2）	﹣2	（﹣2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增		递减		递增

综上，a=2时，函数f（x）在R递增，a＜2时，f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣a，+∞）递增，在（﹣2，﹣a）递减，

a＞2时，f（x）在（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a，﹣2）递减；

（2）解：法一：由（1）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），

且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，

∵a≥4，

∴x∈（﹣∞，﹣a）时，x（x+a）≥0，ex＞0，

x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=ex[x（x+a）+a]＞0，

∴a≥4时，函数f（x）存在最小值f（﹣2）；

法二：由（Ⅰ）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），

且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，

x→﹣∞时，x2+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，

由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，

∴x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）＞0，

∴a≥4时，函数f（x）的最小值是f（﹣2）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=ex[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．