题目内容
【题目】已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,其中
为奇函数,
为偶函数,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1); (2)
;(3)
.
【解析】
(1)利用换元法,将原不等式转化为一元二次不等式来求解.(2)将问题分离常数,转化为在
有解的问题来解决.求得
在
上的值域,来求得
的取值范围.(3)先根据函数的奇偶性的概念,求得
的解析式,化简所求不等式为
,利用换元法及分离参数法分离出
,利用恒成立问题解决方法求得
的取值范围.
(1)原不等式即为,设t=2x,则不等式化为t﹣t2>16﹣9t,
即t2﹣10t+16<0,解得,即
,∴1<x<3,∴原不等式的解集为
.
(2)函数在
上有零点,∴
在
上有解,即
在
有解.
设,∵
,∴
,
∴.∵
在
有解,∴
,故实数
的取值范围为
.
(3)由题意得,解得
.
由题意得,
即
对任意恒成立,令
,
,则
.
则得对任意的
恒成立,
∴对任意的
恒成立,
∵在
上单调递减,∴
.
∴,∴实数
的取值范围
.
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