Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点到焦点的距离是3.
（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在这样的，且的取值范围为.

试题分析：（1）由抛物线准线方程可得，从而得出抛物线的方程；
（2）设，，，联立直线与抛物线的方程整理得一元二次方程，由判别式得出的取值范围，并根据韦达定理得，.然后由得，进而得到，根据判别式确定的取值范围即可.  
试题解析：（1）抛物线准线方程是，    
，               
故抛物线的方程是.                            
（2）设，，
由得， 
由得且.
，                                 
，同理
由得，
即：，                              
∴，                                      
，得且，
由且得，
的取值范围为