题目内容
8．某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：| 测试指示 | [75，80） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100） |
| 玩具甲 | 8 | 22 | 30 | 32 | 8 |
| 玩具乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．②求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率．
分析 （1）利用离散型的概率公式求解得出玩具甲为合格品的概率为$\frac{30+32+8}{100}$；玩具乙为合格品的概率为$\frac{40+29+6}{100}$．
（2）确定①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，-25．，分别求解相应的概率，列出分布列即可求解数学期望．
②根据题意得出生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，依题意得50n-10（5-n）≥140，n$≥\frac{19}{6}$，求解不等式即可．
解答 解：（1）玩具甲为合格品的概率为$\frac{30+32+8}{100}$=$\frac{7}{10}$，
玩具乙为合格品的概率为$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$，
（2）①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，-25．
P（X=130）=$\frac{7}{10}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=70）=$\frac{7}{10}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=35）=$\frac{3}{10}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{40}$，
P（X=-25）=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{40}$，
所有随机变量X的分布列为：
| X | 130 | 70 | 35 | -25 |
| P | $\frac{21}{40}$ | $\frac{7}{40}$ | $\frac{9}{40}$ | $\frac{3}{40}$ |
②设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，依题意得50n-10（5-n）≥140，n$≥\frac{19}{6}$，
所有n=4，或n=5，
设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=${C}_{5}^{4}$（$\frac{3}{4}$）4×$\frac{1}{4}$+${C}_{5}^{5}$（$\frac{3}{4}$）5=$\frac{81}{128}$．
点评 本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |