Question

19．（1）已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$，求p与m的值；
（2）若抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P（4，2），求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}}\\{{m}^{2}=2p×4}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由题意可设抛物线的标准方程为y²=2px或x²=2py（p＞0）．把点（4，2）代入解出即可．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+\frac{p}{2}=\frac{17}{4}}\\{{m}^{2}=2p×4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{m=±2}\end{array}\right.$，
∴p=$\frac{1}{2}$，m=±2．
（2）由题意可设抛物线的标准方程为y²=2px或x²=2py（p＞0）．
当y²=2px时，可得2²=2p×4，解得2p=1，此时抛物线的标准方程为：y²=x；
当x²=2py时，可得4²=2p×2，解得2p=8，此时抛物线的标准方程为：x²=8y．
综上可得：抛物线的标准方程为：x²=8y或y²=x．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．