Question

20．已知数列{a_n}的首项a₁=3，通项a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q为常数）且a₁，a₄，a₅成等差数列．
（1）求p、q的值；
（2）数列{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的首项a₁=3，通项a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q为常数），可得2p+q=3，a₄=2p+4q，a₅=2p+5q．利用a₁，a₄，a₅成等差数列，可得2a₄=a₁+a₅，即可解出p，q．
（2）利用（1）可得a_n=3，即可得出S_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的首项a₁=3，通项a_n=2p+nq（n∈N⁺，p、q为常数），
∴2p+q=3，a₄=2p+4q，a₅=2p+5q．
∵a₁，a₄，a₅成等差数列，
∴2a₄=a₁+a₅，
∴2（2p+4q）=3+2p+5q，化为2p+3q=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=3}\\{2p+3q=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3}{2}}\\{q=0}\end{array}\right.$．
∴p=$\frac{3}{2}$，q=0．
（2）由（1）可得：a_n=3．
∴S_n=3n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．