Question

10．已知椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的上、下两个焦点分别为F，F′．G是椭圆上任意一点，已知椭圆的上顶点为A．下顶点为A′．左顶点为B．右顶点为B′．若点M为AB的中点．则|GM|+|GF′|的最大值（　　）

• A． 6+$\sqrt{3}$
• B． 6-$\sqrt{3}$
• C． 6+$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$
• D． 6-$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，由椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$．利用|GM|+|GF′|=|GM|+2a-|GF|≤6+|MF|即可得出．

解答 解：如图所示，
由椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$．
∴A（0，3），B（-1，0），F（0，2$\sqrt{2}$）．
∴M$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，|MF|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$．
∴|GM|+|GF′|=|GM|+2a-|GF|≤6+|MF|=6+$\frac{\sqrt{42-24\sqrt{2}}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．