题目内容
【题目】已知椭圆
的长轴为
，且点
在椭圆
上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点
，若点
为椭圆上一动点（不同于点
、
）直线
.设直线
的方程为
，直线与直线
、
、
分别交于
、
、
三点，试问：是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）根据长轴长和椭圆上的点的坐标求解标准方程；
（2）求出E，M，F的坐标，根据
建立等量关系分析定值.
（1）因为长轴为
，故
将
代入方程
所以椭圆
的标准方程为
（2）①当点
为
时，
：
，
：
，
：
分别与直线
求交点横坐标
，
，
，若满足条件，则
解得；同理，若点为
时，也解得
②当点横坐标不为±2，直线：
与
联立，解得
直线：
与联立，解得
直线：
与联立，解得
（注：因为直线与直线、、都相交，所以以上分母不为0）
若有，则
（因为点
、
、
在直线上，所以当时，必有
，满足）
故只需验证
，（*）
（若恒成立，取特殊点
代入也满足，得
，若没有①，此时特殊化得
扣2分）
将代入（*）式验证是否恒成立即可
又因为
代入上式，得
，
即存在，使得（*）式恒成立.
【题目】为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计规定：分数不小于240分为“优秀”小于240分为“非优秀”．
（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．
性别 | 优秀 | 非优秀 | 总计 |
男生 | 35 | ||
女生 | 75 | ||
总计 |
（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：
，其中
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
