[题目]设抛物线的焦点为.准线为.已知点在抛物线上.点在上. 是边长为4的等边三角形.(1)求的值,(2)在轴上是否存在一点.当过点的直线与抛物线交于.两点时. 为定值?若存在.求出点的坐标.若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】设抛物线的焦点为，准线为.已知点在抛物线上，点在上，是边长为4的等边三角形.

（1）求的值；

（2）在轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于、两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题知，，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形，，所以，，从而可得结果；（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，

由得，，由韦达定理及两点间距离公式可得，同理可得，化简即可得，时为定值，此时点为定点.

试题解析：（1）由题知，，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形，，所以，，即.

（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，

设直线的方程为，点，，

由得，，则，， .

又，同理可得，则有 .

若为定值，则，此时点为定点.

又当，时，，

所以，存在点，当过点的直线与抛物线交于、两点时，为定值.

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