题目内容

【题目】已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

求椭圆的标准方程和长轴长;

为椭圆的左焦点, 为直线上任意一点,过点作直线的垂线交椭圆,分别为点到直线的距离,证明.

【答案】1,长轴长为.2见解析

【解析】试题分析: 由椭圆的性质可知,即可求得的值,从而求得椭圆的方程和长轴长求得直线的方程,代入椭圆方程,由韦达定理及中点坐标公式可求得的中点,由,根据三角形全等的判定和性质可证明

解析:Ⅰ)由题意可知,椭圆的焦点在轴上, ,

,解得

所以椭圆的方程为,长轴长为.

Ⅱ)由(Ⅰ)知点的坐标为,设点的坐标为,

则直线的斜率

,直线的斜率直线的方程是,

,直线的方程是,也符合的形式,

,将直线的方程与椭圆联立,

,

,所以,

为线段的中点,则点

所以直线的斜率

又直线的斜率,

所以点在直线,

由三角形全等的判定和性质可知:

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