题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和长轴长;
(Ⅱ)设为椭圆的左焦点, 为直线上任意一点,过点作直线的垂线交椭圆于,记分别为点和到直线的距离,证明.
【答案】(1),长轴长为.(2)见解析
【解析】试题分析: 由椭圆的性质可知,即可求得的值,从而求得椭圆的方程和长轴长由求得直线的方程,代入椭圆方程,由韦达定理及中点坐标公式可求得的中点,由,根据三角形全等的判定和性质可证明
解析:(Ⅰ)由题意可知,椭圆的焦点在轴上, ,
由,解得
所以椭圆的方程为,长轴长为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知点的坐标为,设点的坐标为,
则直线的斜率
当时,直线的斜率直线的方程是,
当时,直线的方程是,也符合的形式,
设,将直线的方程与椭圆联立,
由得,
,所以,,
设为线段的中点,则点
所以直线的斜率
又直线的斜率,
所以点在直线上,
由三角形全等的判定和性质可知:
【题目】某社会研究机构,为了研究大学生的阅读习惯,随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,其中男女各一半,男生中有表示会读,女生中有表示不会读.
(1)根据调查结果,得到如下2╳2列联表:
男 | 女 | 总计 | |
读营养说明 | |||
不读营养说明 | |||
总计 |
(2)根据以上列联表,进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系?
P(K2≥k) | 0.10 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】由中央电视台综合频道()和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课,每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了两个地区共100名观众,得到如下的列联表:
非常满意 | 满意 | 合计 | |
| |||
合计 |
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名,该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35,且.
(1)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取“满意”的地区的人数各是多少?
(2)在(1)抽取的“满意”的观众中,随机选出2人进行座谈,求至少有1名是地区观众的概率?
(3)完成上述表格,并根据表格判断是否有90%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系?
附:参考公式:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |