Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1 ， D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）解：∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F平面ADE，AD平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE

【解析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1 ， 结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1 ， 从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1 ， 再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1 ， 结合AD⊥平面BCC1B1 ， 得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．