题目内容

1.已知下面的数列通项和递推关系:
①数列{an}(an=n)有递推关系an+2=2an+1-an
②数列{bn}(bn=n2)有递推关系bn+3=3bn+2-3bn+1+bn
③数列{cn}(cn=n3)有递推关系cn+4=4cn+3-6cn+2+4cn+1-cn
④数列{dn}(dn=n4)有递推关系dn+5=5dn+4-10dn+3+10dn+2-5dn+1+dn
试猜测:
数列{en}(en=n5)的类似的递推关系en+6=6en+5-15en+4+20en+3-15en+2+6en+1-en

分析 由已知中数列{an}(an=n),数列{bn}(bn=n2),数列{cn}(cn=n3),数列{dn}(dn=n4)的递推关系,分析系数的变化规律,可得答案.

解答 解:由已知中:
①数列{an}(an=n)有递推关系an+2=2an+1-an
②数列{bn}(bn=n2)有递推关系bn+3=3bn+2-3bn+1+bn
③数列{cn}(cn=n3)有递推关系cn+4=4cn+3-6cn+2+4cn+1-cn
④数列{dn}(dn=n4)有递推关系dn+5=5dn+4-10dn+3+10dn+2-5dn+1+dn

归纳可得:数列{en}(en=n5)的类似的递推关系为:en+6=6en+5-15en+4+20en+3-15en+2+6en+1-en
故答案为:en+6=6en+5-15en+4+20en+3-15en+2+6en+1-en

点评 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).

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