Question

1．已知下面的数列通项和递推关系：
①数列{a_n}（a_n=n）有递推关系a_n+2=2a_n+1-a_n；
②数列{b_n}（b_n=n²）有递推关系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
③数列{c_n}（c_n=n³）有递推关系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
④数列{d_n}（d_n=n⁴）有递推关系d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n；
试猜测：
数列{e_n}（e_n=n⁵）的类似的递推关系e_n+6=6e_n+5-15e_n+4+20e_n+3-15e_n+2+6e_n+1-e_n．

Answer 1

分析 由已知中数列{a_n}（a_n=n），数列{b_n}（b_n=n²），数列{c_n}（c_n=n³），数列{d_n}（d_n=n⁴）的递推关系，分析系数的变化规律，可得答案．

解答 解：由已知中：
①数列{a_n}（a_n=n）有递推关系a_n+2=2a_n+1-a_n；
②数列{b_n}（b_n=n²）有递推关系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
③数列{c_n}（c_n=n³）有递推关系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
④数列{d_n}（d_n=n⁴）有递推关系d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n；
…
归纳可得：数列{e_n}（e_n=n⁵）的类似的递推关系为：e_n+6=6e_n+5-15e_n+4+20e_n+3-15e_n+2+6e_n+1-e_n
故答案为：e_n+6=6e_n+5-15e_n+4+20e_n+3-15e_n+2+6e_n+1-e_n

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．