题目内容
6．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（2）根据表中数据，在调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
| 年级名次 是否近视 | 1～50 | 951～1000 |
| 近视 | 41 | 32 |
| 不近视 | 9 | 18 |
分析 （1）根据表中的数据，计算观测值k2，对照数表，得出结论；
（2）求出X的取值，计算对应的频率，求出X的分布列与数学期望值．
解答 解：（1）根据表中的数据，计算观测值得；
k2=$\frac{100{×（41×18-32×9）}^{2}}{50×50×73×27}$=$\frac{300}{73}$≈4.110＞3.841，
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为视力与学习成绩有关系；
（2）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
X可取0，1，2，3；
则P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{20}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$；
所以，X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{20}{84}$ | $\frac{45}{84}$ | $\frac{18}{84}$ | $\frac{1}{84}$ |
点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算离散型随机变量的分布列与期望的问题，是基础题目．
练习册系列答案
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