Question

4．已知椭圆E中心在原点，一个焦点为（-$\sqrt{6}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）AB是长为$\frac{5}{2}$的椭圆E动弦，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），利用焦点、离心率计算即得结论；
（Ⅱ）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线AB斜率存在时设直线AB方程y=k（x+b）并与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式可知$\frac{25}{4}$=|AB|²=$\frac{16（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+1）}$[2（4k²+1）-b²]，通过点到直线的距离公式及三角形面积公式可知S_△AOB=$\frac{5}{4}$•$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，通过换元即令u=$\frac{4{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}$、配方、化简可知S²=4-$\frac{625}{1024}$（u-$\frac{64}{25}$）²，进而可知S∈[$\frac{5\sqrt{103}}{32}$，2]；当直线AB斜率不存在时易知S=$\frac{5\sqrt{7}}{8}$∈[$\frac{5\sqrt{103}}{32}$，2]；进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆E方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由条件知c=$\sqrt{6}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a²=b²+c²，解得：a²=8，b²=2，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
设直线AB方程为：y=k（x+b），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+b）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（4k²+1）x²+8kbx+4（b²-2）=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8kb}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4（{b}^{2}-2）}{4{k}^{2}+1}$，
∴|AB|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$
=（k²+1）$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（k²+1）[（-$\frac{8kb}{4{k}^{2}+1}$）²-4•$\frac{4（{b}^{2}-2）}{4{k}^{2}+1}$]
=$\frac{16（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+1）}$[2（4k²+1）-b²]，
∵|AB|=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{16（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+1）^{2}}$[2（4k²+1）-b²]=$\frac{25}{4}$，
整理得：b²=2（4k²+1）-$\frac{25（4{k}^{2}+1）^{2}}{64（{k}^{2}+1）}$，
又∵原点O到AB的距离为$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{4}$•$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
记u=$\frac{4{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}$，则S²=-$\frac{625}{1024}$（u²-$\frac{128}{25}$u）=4-$\frac{625}{1024}$（u-$\frac{64}{25}$）²，
∵u=$\frac{4{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}$=4-$\frac{3}{{k}^{2}+1}$∈[1，4），
∴S∈[$\frac{5\sqrt{103}}{32}$，2]；
当直线AB斜率不存在时，易知S=$\frac{5\sqrt{7}}{8}$∈[$\frac{5\sqrt{103}}{32}$，2]；
综上所述，当u=$\frac{64}{25}$即k=±$\frac{\sqrt{39}}{6}$时S取最大值2，当u=1即k=0时S取最小值$\frac{5\sqrt{103}}{32}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．