题目内容
【题目】已知球内接四棱锥的高为
相交于
,球的表面积为
,若
为
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,利用线面平行的判断定理可得结论;
(2)结合题中的几何关系建立空间直角坐标系,结合平面的法向量可得二面角的余弦值为
.
试题解析:
解:(1)证明:由分别是
的中点,得
,
且满足平面
平面
,所以
平面
.
(2)由球的表面积公式,得球的半径
,
设球心为,在正四棱锥
中,高为
,则
必在
上,
连,则
,
则在,则
,即
,
在正四棱锥中,
平面
于
,且
于
,
设为
轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系
系,
得中点
,
所以,
设分别是平面
和平面
的法向量,
则 和
,
可得,则
,
由图可知,二面角的大小为钝角,
所以二面角的余弦值为
.
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