题目内容
6．已知m和n是两个正整数，m除以n的余数为r．（1）求证“K是m和n的公约数”的充要条件是“K是n和r的公约数”；
（2）求2072与1064的公约数．
分析 （1）已知m=np+r，若K是m和n的公约数，由r=m-np，则k必然是r的公约数，可得K是n和r的公约数．反之亦然．
（2）利用“辗转相除法”即可得出；
解答 （1）证明：已知m=np+r，
若K是m和n的公约数，由r=m-np，则k必然是r的公约数，∴K是n和r的公约数．
反之：若K是n和r的公约数，由m=np+r，则K必然是m的公约数，因此K是m和n的公约数．
综上可得：“K是m和n的公约数”的充要条件是“K是n和r的公约数”．
（2）解：2072=1064×1+1008，1064=1008×1+56，1008=56×18，
∴2072与1064的最大公约数是56．
点评 本题考查了整除理论、充要条件、“辗转相除法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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16．某工厂统计资料显示，该厂生产的某种产品次品率p与日产量x（千克）（x∈N，且11≤x≤100）的关系如表，
且已知每生产1千克正品盈利a元，每生产1千克次品损失$\frac{a}{2}$元（a＞0）．
（1）写出生产该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x的一个函数关系式；
（2）为了获得最大盈利，该厂生产该产品的日产量应定为多少千克？
| x | 11 | 12 | 13 | 14 | … | 99 | 100 |
| p | $\frac{2}{97}$ | $\frac{1}{48}$ | $\frac{2}{95}$ | $\frac{1}{47}$ | … | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{4}$ |
（1）写出生产该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x的一个函数关系式；
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随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
14．如图，其中有一个是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）为（ ）
| A． | 2 | B． | -$\frac{1}{3}$ | C． | 3 | D． | -$\frac{1}{2}$ |
如图，已知$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，试用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OD}$．