题目内容
17．
随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）
（下列数据提供参考：sin20°=0.3420，cos20°=0.9397，tan20°=0.3640）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2示，设∠PAB=θ（rad），车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
分析 （1）在Rt△ABE中，求出BE的值，再得出CE的值，计算出CD即可；
（2）根据图形，结合三角函数的性质，表示出EF、DE与AB的长，计算AB的最小值即可判断小汽车是否能通过直角弯道．
解答 解：（1）在△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=20°，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$，
又AB=10，
∴BE=AB•tan∠BAE=10tan20°≈3.6m，
∵BC=0.6，∴CE=BE-BC=3m，
在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD=∠BAE=20°，
∴cos∠ECD=$\frac{CD}{CE}$，∴CD=CE•cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m．
故答案为2.8m．
（2）延长CD与直角走廊的边相交于E、F，
则EF=OE+OF=$\frac{3}{cosθ}$+$\frac{3}{sinθ}$，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴DE=$\frac{1.8}{tanθ}$，
CF=BC•tanθ=1.8tanθ；
又∵AB=DC=EF-（DE+CF），
∴f（θ）=$\frac{3}{cosθ}$+$\frac{3}{sinθ}$-1.8（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）
=$\frac{（sinθ+cosθ）-1.8}{sinθcosθ}$，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$；
设sinθ+cosθ=t，则t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴1＜t≤$\sqrt{2}$
∵sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（θ）=g（t）=$\frac{6t-3.6}{{t}^{2}-1}$，
∴g′（t）=-$\frac{6（t-0.6）^{2}+3.84}{（{t}^{2}-1）^{2}}$；
又∵1＜t≤$\sqrt{2}$，
∴g′（t）＜0恒成立；
∴g（t）=$\frac{6t-3.6}{{t}^{2}-1}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]上是减函数，
∴g（t）min=g（$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-3.6＞4.5；
∴小汽车能够顺利通过直角拐弯车道．
点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目．
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