【题目】如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且，过作，分别交、于、。动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在射线上运动。动点从点出发，以每秒1个单位长的速度在线段上沿方向运动。以为边作等边。已知、两点同时出发，当点返回点时两点同时停止运动。运动时间为秒.

（1）求线段，当点落在线段上时等于多少；

（2）设运动过程中与矩形的重叠部分面积为，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；

（3）将四边形绕点旋转一周，在此过程中，设直线分别与直线、交于点、，当是以为底角的等腰三角形时，求的长.

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，且与轴的另一交点为，连接.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标；

（3）如图2，为中点，设为线段上一点（不含端点），连接。一动点从出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止。当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？最少时间是几秒？

图1 图2

【题目】如图，中，，在上截取，为上一点，且，过点作的垂线，分别交、于、，连接交于。

（1）若为的中点，，求的长；

（2）求证：.

【题目】每年暑假，都有许多驴友为实现自己的一个梦想，骑自行车丈量中国最美的公路川藏线。、两个驴友团队于同一天出发前往目的地拉萨。队走317国道，结果30天到达。队走318国道，总路程比队少200千米，且路况更好，平均每天比队多骑行20千米，结果队比队提前8天到达拉萨.

（1）求318国道全程为多少千米？

（2）骑行过程中，队每人每天平均花费150元。队开始有3个人同行，计划每人每天花费110元，后来又有几个人加入队伍，实际每增加1人时，每人每天的平均花费就减少5元。若最终、两队骑行的人数相同（均不超过10人），两队共花费了36900元，求两驴友团队各有多少人？

【题目】在南开中学校庆78周年之际，由学生处和美术教研组共同策划、组织了“南开中学校园明信片设计大赛”。获得此次设计大赛组织一等奖的、、、四个班级一共有75件作品获奖，已知班参赛作品的获奖率为30%，班参赛作品的获奖率为40%。请结合两幅统计图所提供的信息，解决下列问题：

（1）四个班级一共选送了多少件作品参赛，获奖率最高的班级是哪个班；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）班的小欣和小怡同学在本次大赛中荣获个人一等奖，此外、两班各有一名同学荣获个人一等奖。南开中学校友会准备从这4名同学的作品中任选两件，制作成新年贺卡送给老校友。请用列表法或画树状图的方法求出这两件作品分别来自不同班级，且其中一件是小欣或小怡作品的概率.

【题目】如图，点在边长为2的正方形内，连结、、，则的最小值为________.

【题目】有七张正面分别标有数字、、、、、、的卡片，除数字不同外其余全部相同。现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于的方程有实数根，且不等式组无解的概率是________.

【题目】如图，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形，其相似比为，连接、．

试探究、的位置关系，并说明理由；

将矩形绕着点按顺时针（或逆时针）旋转任意角度，得到图形、图形，请你通过观察、分析、判断中得到的结论是否能成立，并选取图证明你的判断；

在中，矩形绕着点旋转过程中，连接、、，且，，，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

（1）请用列表或画树状图的方法（只选择其中一种），表示出抽到的两支球队的所有可能结果；

（2）求出抽到B队和C队参加交流活动的概率．

【题目】如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动．

若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？

若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？