探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，则DE的长为　 　．

（Ⅰ）若设AP＝x，则PC＝　 　，QC＝　 　；（用含x的代数式表示）

（Ⅱ）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（Ⅲ）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

【题目】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．

请解答：

（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．

（3）已知x是3+的整数部分，y是其小数部分，直接写出x﹣y的值．

（1）x3x4x5

（2）；

（3）（﹣2mn2）2﹣4mn3（mn+1）；

（4）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2

【题目】将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，即如图①，我们将这种变换记为．

如图①，对作变换得，则________；直线与直线所夹的锐角为________度；

如图②，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值；

如图③，中，，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值．

【题目】如图，为中的一条射线，点在边上，于，交于点，交于点，于点，交于点，连接交于点．

求证：四边形为矩形；

若，试探究与的数量关系，并说明理由．

【题目】已知正方形，点为射线上的一点（不和点、重合），过作，且，过作交射线于．若的面积与四边形的面积之比为，则________．