Question

【题目】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（Ⅰ）若设AP＝x，则PC＝　 　，QC＝　 　；（用含x的代数式表示）

（Ⅱ）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（Ⅲ）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6﹣x，6+x；（Ⅱ）2；（Ⅲ）线段DE的长度不会改变.DE=3

【解析】

(1)根据等边三角形的性质可知AB＝BC＝AC＝6，然后根据题意解答即可;

（2）在（1）的基础上，再利用直角三角形30°所对的边等于斜边的一半进行解答即可.

(3) 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF;根据题意和等边三角形的性质证明△APE≌△BQF（AAS），进一步说明四边形PEQF是平行四边形，最后说明DE＝AB，即可说明DE的长度不变.

解：（Ⅰ）∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝6，

设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，

∴QC＝QB+BC＝6+x，

故答案为：6﹣x，6+x；

（Ⅱ）

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，

∴AP＝2；

（Ⅲ）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵点P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴在△APE和△BQF中，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE＝EF，

∵EB+AE＝BE+BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE＝3，

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．