题目内容

【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在线段BC上,∠EDB=∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.试探究线段BE与DF的数量关系,并证明你的结论.

【答案】BE=DF

【解析】试题分析:BE与DH的延长线交于G点,由DH∥AC得到∠BDH=45°,则△HBD为等腰直角三角形,于是HB=HD,由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG,
根据等腰三角形性质得BE=GE,即BE=BG,然后根据“AAS”证明△BGH≌△DFH,则BG=DF,所以BE=FD.

试题解析:

BE=FD.理由:
BE与DH的延长线交于G点,如图所示:


∵DH∥AC,
∴∠BDH=∠C=45°,
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD,
而∠EBF=22.5°,
∵∠EDB=∠C=22.5°,
∴DE平分∠BDG,
而DE⊥BG,
∴BE=GE,即BE=BG,
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°,
∴∠DFH=∠G,
∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G,
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中,

∴△BGH≌△DFH(AAS),
∴BG=DF,
∴BE= FD.

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