题目内容

【题目】(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PFBC于点F. 点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.

(1)请直接写出抛物线的解析式;

(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说明理由;

(3)小明进一步探究得出结论:若将使PDE的面积为整数的点P记作好点,则存在多个好点,且使PDE的周长最小的点P也是一个好点.请直接写出所有好点的个数,并求出PDE的周长最小时好点的坐标.

【答案】(1)y=-+8;

(2)正确,理由参见解析;

(3)好点11个,PDE的周长最小时好点的坐标(-4,6).

【解析】

试题分析:(1)因为抛物线对称轴是y轴,所以根据A,C点坐标即可写出解析式.(2)把任意一点P的坐标表示出来,并表示出PD,PF的长,用PD-PF验证;(3)先求出使PDE的周长最小的点P的坐标,DE是定值,考虑PE与PD的和最小,由上题得出的结论转化成PE与PF的关系进而得出使PDE的周长最小的点P点坐标;想找到好点的个数,先把三角形PDE的面积表示出来,用梯形面积减去两个直角三角形的面积,由x的取值范围确定S的整数值有几个,再加上前面的使PDE的周长最小的一个点,就知道一共好点的个数.

试题解析:(1)设y=a+8,将A(-8,0)代入,a=-,y=-+8;

(2)设P(x,-+8),则PF=8-(-+8)=,过P作PMy轴于M,

==

PD=+2,PD-PF=+2-=2,猜想正确.

(3)在P点运动时,DE大小不变,PE与PD的和最小时,PDE的周长最小,PD-PF=2,PD=PF+2,PE+PD=PE+PF+2,当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,此时,点P,E横坐标都为-4,将x=-4代入y=-+8,得y=6,P(-4,6),此时PDE的周长最小,且PDE的面积为12,点P恰为好点∴△PDE的周长最小时好点的坐标(-4,6).作PHAO于H,PDE的面积S=梯形PHOD面积减去两个直角三角形PHE,DEO的面积=--3x+4=-+13,由-8x0知4S13,S的整数点有10个,当S=12时,对应的好点有1个,所以好点共有11个.

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