Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，

∴AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB，

又∵∠DAB=60°（已知），

∴∠BAC=∠BCA=30°；

如图1，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA= AC，

∴OB= AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），

∴OA= （cm），AC=2OA=2 （cm），

运动ts后， ，

∴

又∵∠PAQ=∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）

（2）解：如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= PC=

由PM=PQ=AQ=t，即 =t

解得t=4 ﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴ 时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2 t=t，∴t=3﹣ ．

∴当1＜t≤3﹣ 时，⊙P与边BC有一个公共点，

当点P运动到点C，即t=2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC有一个公共点，

∴当t=4 ﹣6或1＜t≤3﹣ 或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；

当4 ﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

【解析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM= PC= ，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．

【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，以及对直线与圆的三种位置关系的理解，了解直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．