题目内容

【题目】二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1, );点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.

(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.

【答案】
(1)

解:∵二次函数图象的顶点在原点O,

∴设二次函数的解析式为y=ax2

将点A(1, )代入y=ax2得:a=

∴二次函数的解析式为y= x2


(2)

证明:∵点P在抛物线y= x2上,

∴可设点P的坐标为(x, x2),

过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=| x2﹣1|,PB=|x|,

∴Rt△BPF中,

PF= = x2+1,

∵PM⊥直线y=﹣1,

∴PM= x2+1,

∴PF=PM,

∴∠PFM=∠PMF,

又∵PM∥y轴,

∴∠MFH=∠PMF,

∴∠PFM=∠MFH,

∴FM平分∠OFP


(3)

解:当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,

∴∠FMH=30°,

在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,

∵PF=PM=FM,

x2+1=4,

解得:x=±2

x2= ×12=3,

∴满足条件的点P的坐标为(2 ,3)或(﹣2 ,3)


【解析】(1)根据题意可设函数的解析式为y=ax2 , 将点A代入函数解析式,求出a的值,继而可求得二次函数的解析式;(2)过点P作PB⊥y轴于点B,利用勾股定理求出PF,表示出PM,可得PF=PM,∠PFM=∠PMF,结合平行线的性质,可得出结论;(3)首先可得∠FMH=30°,设点P的坐标为(x, x2),根据PF=PM=FM,可得关于x的方程,求出x的值即可得出答案.

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