题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),点D为x轴正半轴上的一个动点,点E为第一象限内一点,且CE⊥CD,CE=CD.
(1)试说明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中点F,连接OF,试判断OF与AC的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形,若能,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)OF∥AC;(3)D(1,0)或D(1+,0)
【解析】
(1)易证△AOC,△BOC均为等腰直角三角形,且∠ACD=∠ECB,从而得到
△ACD≌△BCE,由全等三角形对应角相等即可得出结论;
(2)作FL⊥OC ,FK⊥OB,易证∠CFL=∠KFD,CF=DF=DE,得到△CFL≌△DFK,由全等三角形对应边相等得到FL=FK,由角平分线判定定理得到OF平分∠COB,从而得到∠COF=∠BOF=45°,即可得到OF∥AC.
(3)设D(x,0)(x>0).则OD=x,过E作EG⊥y轴于G,则△EGC≌△COD,得到E的坐标,由中点坐标公式得到F的坐标,由两点间距离公式得到OF,DF的长.然后分三种情况讨论:①OD=OF,②OD=FD,③OF=FD.
(1)∵A(-1,0),B(1,0),C(0,1),∴AO=CO=BO=1.
∵CO⊥AB,∴AC=BC,△AOC,△BOC均为等腰直角三角形,∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°,∠ACB=90°,即∠ACD+∠BCD =90°.
又∵CE⊥CD,∴∠ECB+∠BCD =90°,∴∠ACD=∠ECB.
在△ACD与△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE,∴∠EBC=∠CAB.
(2)OF∥AC.理由如下:
作FL⊥OC ,FK⊥OB,如图,∵CO⊥BO,∴∠LFK =90°,
∵CE=CD,点F是DE的中点,∴CF⊥DE,∴∠CFL+∠LFD =90°.
又∵∠KFD+∠LFD =90°,∴∠CFL=∠KFD.
∵CE⊥CD,点F是DE的中点,∴CF=DF=DE.
在△CFL与△DFK中,∵,∴△CFL≌△DFK,∴FL=FK.
又∵FL⊥OC ,FK⊥OB,∴OF平分∠COB,∴∠COF=∠BOF=45°.
又∵∠CAO =45°,∠BOF=∠CAO,∴OF∥AC.
(3)设D(x,0)(x>0).则OD=x,过E作EG⊥y轴于G.
∵CE⊥CD,∴∠ECD=90°,∴∠GCE+∠DCO=90°.
∵∠GCE+∠GEC=90°,∴∠GEC=∠OCD.
∵∠EGC=∠COD=90°,CE=CD,∴△EGC≌△COD,∴GE=OC=1,CG=OD=x,∴E(1,x+1).
∵F为ED的中点,∴F(,
),∴OF=
=
,DF=
=
.
△ODF为等腰三角形,分三种情况讨论:
①OD=OF,则x=,解得:x=
,∴D(
,0);
②OD=FD,则x=,解得:x=±1(负数舍去),∴x=1,∴D(1,0);
③OF=FD,则=
,解得:x=0(舍去),∴此种情况不成立.
综上所述:D(1,0)或D(,0).
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