题目内容

如图,已知在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,BC=8,∠B=60°,点M是边BC的中点,点E、F分别是边AB、CD上的两个动点(点E与点A、B不重合,点F与点C、D不重合),且∠EMF=120°.
(1)求证:ME=MF;
(2)试判断当点E、F分别在边AB、CD上移动时,五边形AEMFD的面积的大小是否会改变,请证明你的结论;
(3)如果点E、F恰好是边AB、CD的中点,求边AD的长.
(1)证明:过点M分别作MG⊥AB,MH⊥CD,垂足为点G、H,
∵点M是边BC的中点,
∴BM=CM,
∵在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,
∴∠B=∠C=60°,
又∵MG⊥AB,MH⊥CD,
∴∠BGM=∠CHM=90°,
在△BGM与△CHM中,
∠B=∠C=60°
∠BGM=∠CHM=90°
BM=CM

∴△BGM≌△CHM(AAS),
∴MG=MH,∠BMG=∠CMH=30°,
即得∠GMH=∠EMF=120°,
又∵∠EMF=∠EMG+∠GMF,且∠GMH=∠GMF+∠FMH,
∴∠EMG=∠FMH,
在△EGM与△FHM中,
∠EMG=∠FMH
∠BGM=∠CHM=90°
MG=MH

△EGM≌△FHM(AAS),
∴ME=MF;

(2)当点E、F在边AB、CD上移动时,五边形AEMFD的面积的大小不会改变.
证明:∵△EGM≌△FHM,
∴S△EMG=S△FMH
∴S五边形AEMFD=S五边形AGMHD

(3)方法一:连接AM(在备用图一),
当点E、F恰好是边AB、CD的中点,且AB=CD,得BE=CF.
又∵ME=MF,BM=CM,
∴△BEM≌△CFM(SSS),
∴∠BME=∠CMF,
∵∠EMF=120°,
∴∠BME=
1
2
(∠180°-∠EMF)=
1
2
(180°-120°)=30°,
又∵∠B=60°,
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°,
∵点E是边AB的中点,
∴ME是边AB的垂直平分线,
∴MA=MB,
∵∠B=60°,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠AMB=60°,
∴∠AMB=∠C.
∴AMCD,
又∵ADMC,
∴四边形AMCD是平行四边形,
∴AD=CM,
∵BC=8,BM=CM,
∴CM=4,
∴AD=CM=4.

方法二:当点E、F恰好是边AB、CD的中点,且AB=CD,得BE=CF.
又∵ME=MF,BM=CM,
∴△BEM≌△CFM(SSS),
∴∠BME=∠CMF,
∵∠EMF=120°,
∴∠BME=
1
2
(∠180°-∠EMF)=
1
2
(180°-120°)=30°,
又∵∠B=60°,
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°,
∵∠BME=30°,
∴BE=
1
2
BM=2,
∵E是边AB的中点,
∴AB=4,
分别过点A、D作AK⊥BC,DL⊥BC,垂足为点K、L(在备用图二中).
∵∠B=60°,
∴BK=
1
2
AB=2,
同理可得,CL=2,
∴KL=8-2-2=4,
∵AK⊥BC,DL⊥BC,ADBC,
∴四边形AKLD是矩形,
∴AD=KL=4.
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