Question

【题目】如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．

（1）求证：∠ABC＝∠ABO；

（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径是．

【解析】

（1）连接OA，求出OA∥BC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；

（2）根据矩形的性质求出OD＝AC＝1，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BD，再根据勾股定理求出OB即可．

（1）证明：连接OA，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵AC切⊙O于A，

∴OA⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OA∥BC，

∴∠OBA＝∠ABC，

∴∠ABC＝∠ABO；

（2）解：过O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，

∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，

∴OD＝AC＝1，

在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，

∵OD⊥BC，OD过O，

∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，

在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，

即⊙O的半径是．