Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；
（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形
（3）如图3，若AB=，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）由△AEM≌△DFM可证得（2）关键是证GE=GF，再证有个角是直角。
（3）①＜AE≤． ②△GEF是等边三角形

试题分析：解：（1）证明：如图1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵M是AD的中点，∴AM=DM，
∴△AEM≌△DFM（ASA）．
∴AE=DF．           2分
（2）证明：如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边ABGH为矩形，
∴∠AME+∠AEM=90°，
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°
∴∠AEM=∠GMH．
∵AD=4，M是AD的中点
∴AM=2
∵四边ABGH为矩形，
∴AB=HG=2
∴AM=HG
∴△AEM≌△HMG（AAS）．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．           5分
（3 ）①当C、G重合时，如图4，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMC=90°，
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE=
当E、B重合时，AE最长为，
∴＜AE≤．        7分（注：此小问只需直接写出结果即可）
②如图3，△GEF是等边三角形．

证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
又∵∠A=∠GHM=90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．
在Rt△GME中，
∴tan∠MEG==．
∴∠MEG=60°．
　由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，  ∴GE=GF．
∴△GEF是等边三角形．           9分
点评：此题比较综合，四边形的相关性质和定理一般都由三角形性质和定理得来，故在解四边形时，通常会结合三角形的性质与定理帮助解题，难度适中。