Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB =∠ADB，．

（1）求证：BM=CM；
（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．
求证：．

Answer 1

（1）证明线段相等，首选全等三角形，不行再选择证明等腰三角形，继而使用等量代换证明。
（2）通过证明相似形，找出相关比例，继而证明几何题中的代数关系。

试题分析： 证明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．
∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．
即得 ∠BAD = 90º．
∵ ，∴ ．
又∵ ∠CBD =∠ADB，
∴ △BCD∽△DBA．
∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．
∴ ∠DBC +∠C = 90º．
∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，
∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．
又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，
∴ ∠C =∠CDM．
∴ CM = MD．∴ BM = CM．
（2）∵ BE⊥DM，
∴ ∠DEF =∠BDC = 90º．
∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º．
∴ ∠FDE =∠DBF．
又∵ ∠FDE =∠C，
∴ ∠DBF =∠C．
于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C，
得 △FDB∽△BDC．
∴ ．即 ．
∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．
又∵ ，
∴ ．
点评：该题主要考查学生对相似三角形性质的掌握，同时学生要学会用逆向思维思考题目的解决方法，由边相等想到角相等、全等三角形，或者线段的相加减。