题目内容

【题目】《九章算术》中记载了这样一道题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现代的语言表述为:“如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,AE=1寸,CD=10寸,那么直径AB的长为多少寸?”请你补全示意图,并求出AB的长.

【答案】解:如图所示,连接OD.
∵弦CD⊥AB,AB为圆O的直径,
∴E为CD的中点,
又∵CD=10寸,
∴CE=DE= CD=5寸,
设OD=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,
由勾股定理得:OE2+DE2=OD2
即(x﹣1)2+52=x2
解得:x=13,
∴AB=26寸,
即直径AB的长为26寸.

【解析】连接OD,由直径AB与弦CD垂直,根据垂径定理得到E为CD的中点,由CD的长求出DE的长,设OD=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,由勾股定理得出方程,解方程求出半径,即可得出直径AB的长.

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