题目内容
【题目】已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D
(1)求证:CD为⊙O的切线
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度。
【答案】(1)证明见解析;(2)6
【解析】分析:(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为 O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5-x) +(6-x) =25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.
本题解析
(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,∴∠DAC=∠OCA,∴PB∥OC,∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC,CO为O半径,∴CD为O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90,∴四边形DCOF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6x,∵O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5x) +(6x) =25,化简得x11x+18=0,
解得 .
∵CD=6x大于0,故x=9舍去,∴x=2,从而AD=2,AF=52=3,
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.
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