Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线．

当抛物线的顶点在轴上时，求该抛物线的解析式；

不论取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；

若有两点，且该抛物线与线段始终有交点，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）抛物线的顶点在直线上；（3）．

【解析】

（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据顶点在x轴上，得出﹣m+1=0，求出m=1，即可得出抛物线的解析式；

（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y=﹣x+1上；

（3）把点A（﹣1，0）代入y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．

（1）∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点坐标是（m，﹣m+1）．

∵抛物线的顶点在x轴上，∴﹣m+1=0，∴m=1，∴y=﹣x2+2x﹣1；

（2）∵抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），∴抛物线的顶点在直线y=﹣x+1上；

（3）当抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1=0，解得m1=0，m2=﹣3，当抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1=0，解得m1=0，m2=1，故﹣3≤m≤1．