题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC= ,点O为Rt△ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,则OA+OB+OC= .
【答案】
【解析】解:∵∠ACB=90°,AC=1,BC= , ∴tan∠ABC=
=
=
,
∴∠ABC=30°,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,
∴A′B⊥CB,
∵∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等边三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四点共线,
在Rt△A′BC中,A′C= =
,
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= .
所以答案是: .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.
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