题目内容
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且
AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．
AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．
（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC． （4分）
∴
=
．
∴DC=BC． （5分）
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=
=
=3． （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴
=
．
∴
=
EC=
． （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=
=
=
．（9分）
∴tan∠DCE=
=
=
．（10分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC． （4分）
∴
 |
| DC |
|
| BC |
∴DC=BC． （5分）
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=
| AB2-AC2 |
| 52-42 |
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴
| EC |
| BC |
| AC |
| AB |
∴
| EC |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∵DC=BC=3，
∴ED=
| DC2-CE2 |
32-(
|
| 9 |
| 5 |
∴tan∠DCE=
| ED |
| EC |
| ||
|
| 3 |
| 4 |
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