Question

推理证明（本小题满分6分）
如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点， ÐDOC=2ÐACD=90°.

（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果ÐACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长.

Answer 1

（1）见解析（2）4

（1）证明：
∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°                           
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°  
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．                 
（2）解：连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，∴∠DOB=60°，           
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，                   
∴BD=OB=4．                             
（1）利用切线的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；
（2）利用圆周角定理得出△BDO为等边三角形，即可得出答案．