Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，延长CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．

（1）求证：AE=AC；

（2）若梯形ABCD的高为2，∠CAD=30°，求梯形ABCD的面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）先证得四边形ABCD是等腰梯形，即得∠BAD＝∠ADC，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠EBA，即得∠ADC＝∠EBA，又AB＝CD，EB＝AD，即可证得△ABE≌△CDA，从而证得结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）先证得四边形ABCD是等腰梯形，即得∠BAD＝∠ADC，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠EBA，即得∠ADC＝∠EBA，又AB＝CD，EB＝AD，即可证得△ABE≌△CDA，从而证得结论；

（2）过A作AH⊥BC于点H，则AH＝2，由∠AEH＝∠CAD＝30°，解Rt△AEH可得EH的长，由AE=AC可得CE=2EH=，再根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可.

（1）∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠BAD＝∠ADC，

又由AD//EC，得∠BAD＝∠EBA，

∴∠ADC＝∠EBA，

又AB＝CD，EB＝AD，

∴△ABE≌△CDA，           

∴AE＝AC；

（2）过A作AH⊥BC于点H，则AH＝2

∵∠AEH＝∠CAD＝30°

∴在Rt△AEH中，

∵AE=AC

∴CE=2EH=

又∵△ABE≌△CDA

∴S_梯形ABCD＝S_△AEC＝. 

考点：等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积公式

点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.