题目内容
【题目】如图,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AGAB=12,求AC的长;
(3)在满足(2)的条件下,若AF:FD=1:2,GF=1,求⊙O的半径及sin∠ACE的值.
【答案】
(1)
解:证明:连接CD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠ADC=90°,
又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,
∴∠PAC=∠ADC,
∴∠CAD+∠PAC=90°,
∴PA⊥OA,而AD是⊙O的直径,
∴PA是⊙O的切线
(2)
解:由(1)知,PA⊥AD,又∵CF⊥AD,∴CF∥PA,
∴∠GCA=∠PAC,又∵∠PAC=∠PBA,
∴∠GCA=∠PBA,而∠CAG=∠BAC,
∴△CAG∽△BAC,
∴ =
,
即AC2=AGAB,
∵AGAB=12,
∴AC2=12,
∴AC=2
(3)
解:设AF=x,∵AF:FD=1:2,∴FD=2x,
∴AD=AF+FD=3x,
在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AFAD,
即3x2=12,
解得;x=2,
∴AF=2,AD=6,∴⊙O半径为3,
在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,
根据勾股定理得:AG= =
=
,
由(2)知,AGAB=12,
∴AB= =
,
连接BD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
在Rt△ABD中,∵sin∠ADB= ,AD=6,
∴sin∠ADB= ,
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,
∴sin∠ACE= .
【解析】(1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案;(2)首先得出△CAG∽△BAC,进而得出AC2=AGAB,求出AC即可;(3)先求出AF的长,根据勾股定理得:AG= ,即可得出sin∠ADB=
,利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可.
