题目内容
如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O1O2的延长线交于C点，在AP延
长线上有一点E，满足
=
，PE交⊙O2于D．
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=
，求
的值．
长线上有一点E，满足| AP |
| AB |
| AC |
| AE |
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=
| 9 |
| 4 |
| BC |
| EC |
（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线
∴∠1=
∠O1，∠2=
∠PO2B
∵O1A∥O2B
∴∠O1+∠PO2B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵
=
，∠1=∠1
∴△APB∽△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；
（2）证明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O2B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O2P=O2B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB∽△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；
（3）作内公切线PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高
∴PB2=AP•DP=4×
∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC∽△APC
∴
=
=
又∵PC=EC
∴
=
．
∵AB为公切线
∴∠1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵O1A∥O2B
∴∠O1+∠PO2B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵
| AP |
| AB |
| AC |
| AE |
∴△APB∽△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；
（2）证明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O2B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O2P=O2B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB∽△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；
（3）作内公切线PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高
∴PB2=AP•DP=4×
| 9 |
| 4 |
∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC∽△APC
∴
| BC |
| PC |
| PB |
| AP |
| 3 |
| 4 |
又∵PC=EC
∴
| BC |
| EC |
| 3 |
| 4 |
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