Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC于E，G是AD的中点，连接DE．
（1）猜想四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形ABED是菱形，
理由是：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
同理BE=AB，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABED是菱形．

（2）当AB=2EC时，EG∥CD，
理由是：∵AB=AD=2DG，
AB=2EC，
∴GD=CE，
∵AD∥BC，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴EG∥CD，
即当AB=2EC时，EG∥CD．
分析：（1）根据平行线性质和角平分线定义求出∠ABD=∠ADB，推出AD=AB，同理得出BE=AB，推出AD=BE即可；
（2）AB=2EC，根据菱形和已知得出AB=2GD，推出GD=EC，DG∥EC，得出平行四边形DGEC即可．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，梯形，平行线性质，等腰三角形的 性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度也适中．