Question

如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

（1）答：BD和⊙O相切.
证明：∵OD⊥BC,
∴∠OFB=∠BFD =90°,
∴∠D+∠3=90°.
∵∠4=∠D=∠2,　　　　　……………………………1分
∴∠2+∠3=90°,
∴∠OBD=90°,
即OB⊥BD.
∵点B在⊙O上，
∴BD和⊙O相切. ……………………………2分
(2) ∵OD⊥BC,BC=8,
∴BF="FC=4.  " ……………………………3分
∵  AB=10,
∴OB=OA=5.
在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,
∵OB=5,BF=4,
∴OF="3.             " ……………………………4分
∴tan∠1=.
在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,
∵tan∠1=, OB=5,
∴. ……………………………　5分

略