Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q坐标为：(﹣2，2)或(﹣1+，1﹣)或(﹣1﹣，1+)或(2，﹣2)．

【解析】

（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；

（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；

（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．

（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，

将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，

解得：，

∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．

（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，

∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，

∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，

设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，

把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，

解得：k＝﹣1，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，

∵MD∥y轴，

∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），

∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，

∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB

＝MDOA

＝×2（m2﹣2m）

＝﹣m2﹣2m

＝﹣（m+1）2+1，

∵﹣2＜m＜0，

∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，

综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．

（3）设P（x，x2+x﹣2），

①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

∵直线的解析式为y＝﹣x，

则Q（x，﹣x），

由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，

即|﹣x2﹣2x+2|＝2，

当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，

∴Q（﹣2，2），

当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，

∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），

②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，

∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，

∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，

∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，

把x=2代入y＝﹣x得y=-2，

∴Q（2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．