Question

【题目】已知正方形的边长为1，为射线上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为，连接，，，．当是等腰三角形时，的值为__________．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

以B为圆心，以AB长为半径画弧，以C为圆心，以CD长为半径画弧，两弧分别交于 ，此时都是以CD为腰的等腰三角形；作CD的垂直平分线交弧AC于点，此时以CD为底的等腰三角形．然后分别对这三种情况进行讨论即可．

如图，以B为圆心，以AB长为半径画弧，以C为圆心，以CD长为半径画弧，两弧分别交于 ，此时都是以CD为腰的等腰三角形；作CD的垂直平分线交弧AC于点，此时以CD为底的等腰三角形

（1）讨论，如图作辅助线，连接 ，作 交AD于点P，过点，作于Q，交BC于F，

为等边三角形，正方形ABCD边长为1

在四边形 中

∴为含30°的直角三角形

（2）讨论，如图作辅助线，连接 ，作 交AD于点P，连接BP,过点，作于Q，交AB于F，

∵EF垂直平分CD

∴EF垂直平分AB

为等边三角形

在四边形 中

（3）讨论，如图作辅助线，连接 ，过作 交AD的延长线于点P，连接BP,过点，作于Q，此时在EF上，不妨记与F重合

为等边三角形,

在四边形 中

故答案为：或或．