Question

16．如图，⊙O为ABC的外接圆，AD为⊙O的切线，AD∥BC，BD交⊙O于E，且点E是$\widehat{AC}$的中点，连接AE．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AD=40，BC=48，求⊙O的半径长及AE的长．

Answer 1

分析 （1）想办法证明∠DAE=∠ABD，∠CAE=∠ABD即可．
（2）如图，连接OA、OE，延长AO交BC于M．首先利用勾股定理求出AM，设半径为r，在Rt△COM中，利用勾股定理列出方程求出r，在Rt△AON中求出ON，在Rt△ANE中，即可求出AE．

解答 解：（1）∵点E是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠ABE=∠DAE，
∵∠EAC=∠CBE，
∴∠DAE=∠CAE，
∴AE平分∠DAC；

（2）如图，连接OA、OE，延长AO交BC于M．

∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∵AD∥BC，
∴AM⊥BC，∵AB=AC，
∴BM=CM=24，∵AB=40，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}-2{4}^{2}}$=32，设半径为r，
在Rt△COM中，∵OC²=OM²+CM²，
∴x²=（32-x）²+24²，
∴x=25，
∴OA=25，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴EO⊥AC，
在Rt△AON中，∵OA=25，AN=20，
∴ON=$\sqrt{O{A}^{2}-A{N}^{2}}$=15，EN=OE-ON=10，
在Rt△ANE中，
AE=$\sqrt{A{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{5}$．

点评 本题考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．