Question

8．如图，等腰Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD，EB⊥BC，Rt△EDF中，∠EDF=90°，B、C、F在一条直线上，
（1）若ED=4，求S_△EDF．
（2）若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，由FD与DE垂直，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且AD=DC，利用AAS得到三角形DAE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF，进而求得结论；
（2）在HF上取一点P，使FP=EH，连接DP，利用SAS得到三角形DEH与三角形DFP全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到DH=DP，∠EDH=∠FDP，进而确定出三角形DHP为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．

解答 （1）解：过D作DA⊥BE交BE的延长线于A，
则四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°-∠EDC=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF（AAS），
∴AE=CF，DE=DF，
∴S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE•DF=$\frac{1}{2}×$4×4=8；

（2）证明：在HF上取一点P，使FP=EH，连接DP，
由（1）Rt△DAE≌Rt△DCF得△EDF是等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，
∴△DEH≌△DFP（SAS），
∴DH=DP，∠EDH=∠FDP，
在△DHE和△FHB中，
∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF（对顶角），
∴∠EDH=∠1=$\frac{1}{2}$∠ADE=$\frac{1}{2}$（45°-∠EDH），
∴∠EDH=15°，∠FDP=15°，
∴∠HDP=90°-15°-15°=60°，
∴△DHP是等边三角形，
∴HD=HP，HF=HE+HD．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．