题目内容
【题目】如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,
.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BPQ=45°.
【解析】
(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角形;
(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果.
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)解:∵△APP′是等腰直角三角形,
∴PP′=PA=
,∠APP′=45°,
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴PD=P′B=,
在△PP′B中,PP′=,PB=2
,P′B=
,
∵()2+(2
)2=(
)2,
∴PP′2+PB2=P′B2,
∴△PP′B为直角三角形,∠P′PB=90°,
∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°.
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【题目】国庆期间,为了满足百姓的消费需求,某商店计划用170000元购进一批家电,这批家电的进价和售价如表:
类别 | 彩电 | 冰箱 | 洗衣机 |
进价(元/台) | 2000 | 1600 | 1000 |
售价(元/台) | 2300 | 1800 | 1100 |
若在现有资金允许的范围内,购买表中三类家电共100台,其中彩电台数是冰箱台数的2倍,设该商店购买冰箱x台.
(1)商店至多可以购买冰箱多少台?
(2)购买冰箱多少台时,能使商店销售完这批家电后获得的利润最大?最大利润为多少元?